前段时间读了一篇综述，贴一下简单的翻译和一些笔记。
综述题目：Dynamical quantum phase transitions: a review, Markus Heyl 2018 Rep. Prog. Phys. 81 054001
DOI: https://doi.org/10.1088/1361-6633/aaaf9a
或10.1088/1361-6633/aaaf9a（arXiv）
摘要
本文对量子动力学相变的研究现状和进展进行了调研，介绍了动力学相变的基本概念和性质，并总结了这一领域的进一步研究的方向。
本文主要由四部分组成。第一节简要介绍了动力学相变的研究背景。第二节介绍了动力学相变的定义和理论描述，并从最基本的无相互作用费米子两带模型出发，介绍了动力学相变的一些核心概念。第三节介绍了动力学相变在实验上的实现。第四节介绍了一些平衡态相变的特征性质在动力学上的推广。
1. 研究背景
近年来，随着原子冷却的技术的发展，以及冷原子BEC等体系在实验中的实现，人们在量子层面操控物质的技术取得了很大的提升[@pethick_smith_2008]，而这也使利用量子模拟的手段研究多体系统中非平衡态的实时动力学过程成为可能。
非平衡量子态的关键特性在于，它们的性质和演化过程不能用热力学的方法解释。在平衡态系统中非常重要的研究工具，如配分函数、自由能等都不适用于非平衡态。这样的情况会带来诸多问题，例如这些系统是否还会有普适的、与体系微观细节无关的宏观性质，以及在无法定义自由能的情况下，是否还有和平衡态相类似的相变现象发生[@0034-4885-81-5-054001]。
所以，对这些量子态的研究不能靠直接照搬平衡态的结论，而是需要在类比、拓展平衡态的研究方法的基础上，开创全新的理论来描述和研究非平衡态的动力学过程。
但同时，正是因为这样的特性，使这些量子系统能够展现出平衡态所没有的现象，例如预热化现象、晶格规范场论中的粒子-反粒子产生、多体局域化、离散时间晶体等等。
在实验上[@Fläschner2018;@PhysRevLett.119.080501]已经得到了证实，在有限时间尺度上非平衡态也可以发生相变，亦即系统物理量随时间变化的函数会展现出非解析性。这种现象被称为量子动力学相变（Dynamical Quantum Phase Transition, DQPT）。如前所述，DQPT是由时间驱动的，而不像传统相变那样，由温度、压强等控制参量驱动。
DQPT领域最近在冷原子量子模拟的领域受到了较大的关注，也取得了可观的进展。理论方面，传统相变中一些关键性质，如标度律和普适性、序参量等等被不同程度地推广到了DQPT的研究上；实验方面，DQPT已经在不同维度、不同的体系中得到了模拟和实现，包括囚禁离子体系、光晶格中的超冷中性原子体系等等。
2. 理论描述
统计力学对平衡系统的描述的核心是系统的正则配分函数，定义为 \[ Z=\mathrm{tr}\ \mathrm{e}^{-\beta H}=\sum_\nu\mathrm{e}^{-\beta E_\nu} \] 可定义系统的自由能\(F\)和自由能密度\(f\)，为 \[ Z=\mathrm{e}^{-\beta F}=\mathrm{e}^{\beta Nf} \] 其中\(N\)是系统的自由度。这个定义把描述系统微观性质的\(H\)和描述系统宏观性质的\(F\)联系了起来。发生相变时，自由能\(F\)关于某控制参数的函数出现非解析性。
对非平衡态，我们也希望能定义类似地物理量。
2.1 量子淬灭
在引入对非平衡态的描述，以及动力学相变的概念之前，先考虑一个特定的非平衡过程，被称为量子淬灭(Quantum quench)。
在量子淬灭过程中，系统起初处于\(H_0\)的基态\(|\psi_0\rangle\)。\(H_0\)可以理解为某更一般的哈密顿量函数\(H(\lambda)\)的一个特定值： \[ H_0=H(\lambda_0) \] \(\lambda\)是一个可以调的参数。在\(t=0\)时刻，迅速将参数从\(\lambda_0\)调至\(\lambda_f\)，系统哈密顿量变为 \[ H=H(\lambda_f) \] 此后，系统在\(H\)的支配下进行演化： \[ |\psi_0(t)\rangle=\mathrm e^{-iHt}|\psi_0\rangle \]
2.2 Loschmidt振幅和回波
在量子淬灭过程中，可以定义一个称作Loschmidt振幅的物理量[@0034-4885-81-5-054001]： \[ \mathcal{G}(t)=\langle\psi_0|\psi_0(t)\rangle=\langle\psi_0|\mathrm e^{-iHt}|\psi_0\rangle \] 以及它的模方，Loschmidt回波： \[ \mathcal L(t)=|\mathcal G(t)|^2 \] Loschmidt振幅可以理解为演化中的量子态和初态的重叠程度。
对简并的基态，Loschmidt回波可以定义为系统回到基态流形的概率，即 \[ P(t)=\sum_{\alpha=1}^\nu P_\alpha(t), P_\alpha(t)=|\langle\psi_\alpha|\psi(t)\rangle|^2 \] 由于对于多体系统，Loschmidt振幅和回波显然和系统自由度有关，所以可以分别定义它们的速率函数： \[ \mathcal G(t)=\mathrm e^{-Ng(t)}, g(t)=-\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\log[\mathcal G(t)] \]
\[ \mathcal L(t)=\mathrm e^{-N\lambda(t)}, \lambda(t)=-\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\log[\mathcal L(t)] \]
和平衡态的理论对比，可以看出，这里定义的Loschmidt回波相当于平衡态的配分函数，而其对应的速率函数则相当于平衡态的自由能。
2.3 量子动力学相变
根据上面定义的Loschmidt振幅，可以对量子动力学相变给出一个具体的定义：Loschmidt振幅随时间变化过程中的非解析性。
量子淬灭是引发动力学相变的一种方式。实验和理论表明，当淬灭跨越一个平衡态相变时，淬灭后的动力学演化中会发生量子动力学相变。但是，实验上曾看到过和平衡态相变没有对应关系的动力学相变。这说明动力学相变和平衡态相变是完全不同的两种物理现象。
在一维情况下，动力学相变能否发生，同淬灭前后哈密顿量的拓扑性质有关[@PhysRevB.91.155127]，而一维哈密顿量的拓扑性质由它们的卷绕数表征。只要卷绕数不同，亦即淬灭前后的哈密顿量是“拓扑上不同的”，那么无论如何调整参数，都可以保证发生动力学相变。二维的情况稍有复杂。二维情况下，淬灭前后哈密顿量拓扑不同（由哈密顿量的陈数表征）并不能保证发生动力学相变，而是需要陈数的绝对值不同才行。
对于满足上述条件的淬灭所致使的动力学相变，无论如何改变参数，都不会影响演化过程的非解析性，不会影响动力学相变是否发生，只会影响一些非普适的性质（如发生相变的临界时间等），所以它们被称为“拓扑的”、“受对称性保护的”[@PhysRevLett.117.086802]动力学相变；如果不满足上述条件，在某些特定的参数下仍然能发生动力学相变[@PhysRevB.93.085416;@PhysRevB.89.054301;@PhysRevB.91.155127@PhysRevLett.117.086802]，这样的动力学相变需要对参数的精细调节，所以被称为“偶然的”（“accidental”）动力学相变。
2.4 Fisher零点
接下来从数学上研究Loschmidt振幅的非解析性质。将Loschmidt振幅延拓到复平面： \[ t\mapsto z=t+i\tau \]
\[ \mathcal G(z)=\langle\psi_0|\mathrm e^{-iHz}|\psi_0\rangle, z\in\mathbb C \]
根据Weierstrass的分解定理[@Conway_1978]，\(\mathcal G(z)\)可以写成 \[ \mathcal G(z)=\mathrm e^{\mu(z)}\prod_j(z_j-z) \] \(\mu(z)\)是一个解析函数，可以暂时省略；\(z_j\)是\(\mathcal G(t)\)的零点，被称为Fisher零点。\(\mathcal G(t)\)的所有非解析性质全部包含在了这些零点在复平面的结构中。同样可定义速率函数： \[ g_s(z)=-\frac{1}{N}\sum_j\log(z_j-z) \] 对不同的模型，这些零点会在复平面有不同的分布。在热力学极限下，零点会聚集成曲线，或者区域，如图所示：
曲线及区域边界和实轴的交点，即发生动力学相变的临界时间。
2.5 两带模型
为了简化问题，接下来讨论两能带、无相互作用的费米子体系。这些费米子具有平移不变性和粒子-空穴对称性。描述这样的体系的哈密顿量为 \[ H=\sum_{k\in BZ}H_k, H_k=c^{\dagger}_kh_kc_k \] 其中\(c_k,c^{\dagger}_k\)是粒子的湮灭、产生算符，\(h_k\)是一个\(2\times2\)的Hermitian矩阵，包含了体系的具体性质。\(h_k\)可以用Pauli矩阵表示如下： \[ h_k=\mathbf d_k\tau=\sum_{\alpha=x,y,z}d^\alpha_k\tau_\alpha \] 对每个动量\(k\)，哈密顿量都可以对角化，得到本征态\(|\psi_{k+}\rangle\)和\(|\psi_{k-}\rangle\)，以及能量\(+\varepsilon_k\)和\(-\varepsilon_k\)，\(\varepsilon_k=|\mathbf d_k|\)。
对于淬灭前后两个哈密顿量，都可以解出这些本征态\(|\psi^{i/f}_{\pm}\rangle\)和能量\(\varepsilon_k^{i/f}=|\mathbf d^{i/f}_k|\)。
由于各动量之间没有存在耦合，系统的基态是各动量基态的乘积： \[ |\psi(t)\rangle=\prod_k|\psi_{k-}(t)\rangle \] 根据之前的定义，可以写出动力学系统的Loschmidt振幅，也是每个动量Loschmidt振幅的乘积： \[ \mathcal G(t)=\prod_k\mathcal G_k(t), \mathcal G_k(t)=\langle\psi^i_{k-}|\psi^i_{k-}(t)\rangle \] 引入占据数的概念： \[ n^f_k=|\langle\psi_{k+}^f|\psi^i_{k-}\rangle|^2 \] 即初始哈密顿量基态和演化哈密顿量激发态的重叠，是一个不随时间变化的量。把\(|\psi^i_{k-}\rangle\)用\(|\psi^f_{\pm}\rangle\)展开，得到 \[ \mathcal G_k(t)=n^f_k\mathrm e^{i\varepsilon_k^ft}+(1-n^f_k)\mathrm e^{-i\varepsilon_k^ft} \] 如前所述，发生动力学相变的条件是\(\mathcal G_k(t)=0\)。假设至少有一个动量\(k^*\)会发生动力学相变，即有 \[ \begin{align} \mathcal G_{k^*}(t_c)&=0\\ \Rightarrow n^f_{k^*}&=\frac{1}{2}\\ \Rightarrow t^n_c&=(2n+1)\frac{\pi}{2\varepsilon^f_{k^*}} \end{align} \]
2.6 Bloch球
两能级系统的量子态在本征态中展开： \[ |\psi_k\rangle=\cos(\theta_k/2)|\psi_{k-}\rangle+\mathrm e^{i\varphi_k}\sin(\theta_k/2)|\psi_{k+}\rangle \] 对于动力学过程的量子态，也可以展开成类似的形式： \[ |\psi_k(t)\rangle=\cos[\theta_k(t)/2]|\psi_{k-}\rangle+\mathrm e^{i\varphi_k(t)}\sin[\theta_k(t)/2]|\psi_{k+}\rangle \] 如果将\(\theta_k(t)\)和\(\varphi_k(t)\)和球坐标的极角、辐角对应起来，这样的动力学态对应于Bloch球面上的一条轨迹。
动力学相变发生时，即\(\mathcal G_{k^*}(t_c)=0\)时，Bloch矢量指向球面的南极点。
2.7 相位轮廓（Phase profiles）
如前所述，动力学相变发生的时候Bloch矢量在Bloch球面的南极点。这个时候，Bloch矢量的辐角\(\varphi_k(t)\)发生了\(\pi\)相位突变。
在二维情况下，这表现为相位图中产生了涡旋和反涡旋对[@Fläschner2018]。
3. 实验模拟
在实验中，可以用通用的量子模拟的方法实现动力学相变。这里简单介绍在囚禁离子体系中实现横向场Ising模型的动力学演化[@PhysRevLett.119.080501]。
3.1 哈密顿量和Loschmidt振幅
Ising模型的哈密顿量如下所示： \[ H=-\sum_{l>m}J_{lm}\sigma^z_l\sigma^z_m-h\sum_{l=1}^N\sigma^x_l \] 其中\(\sigma^\alpha_l\)是第\(l=1,\dots,N\)号格点，在\(\alpha=x,y,z\)方向上Pauli矩阵；\(N\)是总的自旋个数；\(J_{lm}\)是耦合的强度，在长程近似下的形式为 \[ J_{lm}\sim\frac{1}{|l-m|^\alpha},\ \ \ \ \text{for}|l-m|\gg1 \] 指数\(\alpha\)可在\(1\sim3\)范围内调节。
在动力学演化前，令系统经历穿越从铁磁相到顺磁相平衡态相变的淬灭。即首先将系统制备到没有横向磁场的哈密顿量的初态： \[ |\psi_0\rangle=|\uparrow\dots\uparrow\rangle \] 然后迅速加上足够大的横向磁场，让系统开始演化。
由于无磁场的哈密顿量的基态是二重简并的，所以将Loschmidt回波写成下面的形式： \[ P(t)=P_{\uparrow}(t)+P_{\downarrow}(t)=|\langle\uparrow|\psi(t)\rangle|^2+|\langle\downarrow|\psi(t)\rangle|^2 \] 定义强度函数\(\lambda_\eta(t)\) \[ P_\eta(t)=\mathrm e^{-N\lambda_\eta(t)},\eta=\uparrow,\downarrow \] 同时定义速率函数及其极限： \[ \lambda_N(t)=-\frac{1}{N}\log[P(t)] \]
\[ \lambda(t)=\lim_{N\to\infty}\lambda_N(t)=\min_{\eta=\uparrow,\downarrow}\lambda_\eta(t) \]
第二个式子表明，速率函数在热力学极限下总是由强度函数中的一个主导。对有限的系统，主导的强度函数和速率函数显然是不同的，但是我们假设实验中的系统的尺度足够大，有限尺度带来的误差足够小。这样，对有限系统也可以用主导的强度函数标记动力学相变。
3.2 实验结果
这里对不同尺度\(N\)、不同耦合强度指数\(\alpha\)进行了实验。
图(a)、(b)中的尖点是占主导的强度函数发生变化的点，也就是动力学相变发生的点。可以看出，\(N\)和\(\alpha\)发生变化只会影响动力学相变发生的临界时间，不会影响相变发生与否。
图(c)是系统两个宏观物理量能量和磁化强度的测量。可以看出，发生动力学相变的地方，能量也以同样的趋势发生突变，同时磁化强度改变方向。
4. 动力学相变的特征性质
根据动力学相变和平衡态相变、Loschmidt振幅和配分函数之间的关联和相似性，我们希望能将传统相变的一些特征性质拓展到非平衡相变的领域中。目前，对部分模型和部分性质的研究已有初步进展，但仍然很不完善。
4.1 标度律
标度律和普适性是平衡态相变的重要特性。虽然目前对动力学相变的标度律还没有一般的理论，但对Ising模型，这些概念可以得到简单的推广[@PhysRevLett.115.140602]。
仍然考虑横向磁场的Ising模型，哈密顿量为 \[ H=-\sum_{\langle lm\rangle}J_{lm}\sigma^z_l\sigma^z_m-h\sum_{l=1}^N\sigma^x_l \] 其中\(\langle lm\rangle\)表示对最近邻格点求和。
考虑从\(J/h=0\)到\(h/J=0\)的量子淬灭，这样系统初始状态为 \[ |\psi_0\rangle=|+\rangle=\bigotimes_l|+\rangle_l \] 系统演化的哈密顿量为 \[ H=-J\sum_{\langle lm\rangle}\sigma_l^z\sigma_m^z \] 注意到，演化开始后，系统的Loschmidt振幅和传统的配分函数的形式是一致的： \[ \mathcal G(t)=Z(K)=\frac{1}{2^L}\mathrm{Tr\ e}^{\mathcal H(K)} \]
\[ \mathcal H(K)=K\sum_{\langle lm\rangle}\sigma_l^z\sigma_m^z, K=iJt \]
这样，对平衡态相变的研究方法和结果，都可以拓展到动力学相变上去。
对一维的情况，标度律为[@PhysRevLett.115.140602] \[ g_s(t)\sim|\tau|, \tau=\frac{t-t_c}{t_c} \] 对二维，标度律为[@PhysRevLett.115.140602] \[ g_s(\tau)\sim\tau^2\log(|\tau|) \] 目前，还没有其他模型的动力学相变中有标度律的存在。
4.2 鲁棒性（Robustness）
动力学相变的Robustness描述了微扰的存在是否影响演化及相变的结构。一般来说，不破坏对称性的、相对于重整化群变换来说很弱的微扰不会破坏Loschmidt振幅的非解析性，也就是说不会改变动力学相变能否发生，而只会影响相变的一些非普适的性质，如转变时间等。
仍然以上面的Ising模型为例。
如果在无外场的Ising链上加一个横向的磁场[@PhysRevLett.115.140602]，由于此扰动不破坏系统的对称性，所以不会影响系统的非解析性。数学上可以证明，加上扰动的系统等效于一个没有扰动的、考虑了次近邻相互作用的Ising链。在重整化群变换后，系统可以重新用一个没有横向磁场的、耦合强度重整化了的Ising模型描述。也就是说Ising模型的动力学相变在添加横向磁场这一扰动下是robust的，横向磁场对相变的影响只有移动了转变时间。
但如果在无外场的Ising链上添加一个平行于链的磁场，这样的扰动就会破坏系统的对称性，进而破坏动力学相变的结构[PhysRevE.81.020101]。如果以淬灭的方式迅速加上平行磁场，动力学相变却仍可以发生[PhysRevB.87.195104]。这表明，微扰的快慢对动力学相变的影响仍然是没有彻底研究清楚的问题。
4.3 动力学序参量
序参量是平衡态相变的重要概念之一，所以我们希望在动力学相变里也建立起序参量的概念，从而帮助我们更好的理解动力学相变过程，以及区分相变两边的“动力学相”。
目前给动力学相变赋予的序参量都是某种在相变发生时会改变的“量子数”。正如上文提到的，对于一维系统，可以令几何相的卷绕数作为序参量；而对于二维系统，可以令相位（几何相，或者Bloch矢量的辐角）图像中涡旋的数目作为序参量，当涡旋数目发生变化时（即有涡旋-反涡旋对产生或者湮灭时），认为动力学相变发生。如果采用几何相的涡旋作为序参量，甚至可以推广至混合态的动力学相变。
4.4 动力学相变的分类
平衡态相变可以分为一级相变、二级相变……等等，我们自然希望可以用类似的方式对动力学相变进行分类。然而目前并未找到一种普适的、不涉及模型本身微观细节的分类方式。
有人曾经通过引入“广义期望值”的概念，给出了一种对一级相变的定义。
广义期望值定义为： \[ \langle Y(t')\rangle_{\mathcal G(t)}=\mathcal G^{-1}(t)\langle\psi_0|\mathrm e^{-iH(t-t')}Y\mathrm e^{-iHt'}|\psi_0\rangle \] 在数学上可以证明，广义期望值由它的一系列鞍点主导。而当最主要的鞍点发生变化时，定义为发生了一级动力学相变。但是目前仍不清楚广义期望值和宏观的物理量有什么关联。
5. 总结
本文简要介绍了动力学相变的概念、理论、实验和特征性质。
动力学相变用Loschmidt振幅描述。对于由量子淬灭引发的动力学相变，Loschmidt振幅定义为 \[ \mathcal G(t)=\langle\psi_0|\mathrm e^{-iHt}|\psi_0\rangle \] 当Loschmidt振幅出现非解析性时，会发生动力学相变。
动力学相变可以用量子模拟的手段在实验上实现。目前在囚禁离子体系、光晶格超冷原子体系都已经观察到了动力学相变。
动力学相变和平衡态相变有很多相似之处，动力学相变的Loschmidt回波及其速率函数可以和平衡态相变的配分函数和自由能相类比，平衡态相变的一些特征性质，如标度律、序参量，可以拓展到动力学相变上去。
但从本质上，动力学相变和平衡态相变是完全不同的物理现象，二者没有一一对应的关系，平衡态相变的方法和结论也不能照搬到动力学相变上来。同时，动力学相变也会伴随着一些平衡态所没有的独特现象。
目前对量子动力学相变的研究仍然是初步的、不完善的，甚至缺少一种宏观的理论来描述这些现象。同时，动力学相变和其它非平衡态的现象之间的联系，也是目前比较热门的研究话题。