高等量子力学笔记

本文是中国科学技术大学2017秋季学期《高等量子力学》课堂笔记。

1. 补充知识

谐振子系统

一维谐振子：$L=\frac{1}{2}m\dot{x}^2-\frac{1}{2}m\omega^2x^2$；$H=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^2x^2$。

对应的Heisenberg方程： \[ \left\{ \begin{array}. \frac{\partial}{\partial t}x=i[H,x]\\ \frac{\partial}{\partial t}p=i[H,p] \end{array} \right. \] 定义 \[ \left\{ \begin{array}. a=\sqrt{\frac{m\omega}{2}}(x+i\frac{p}{m\omega})\\ a^\dagger=\sqrt{\frac{m\omega}{2}}(x-i\frac{p}{m\omega})\\ \end{array} \right.\\ \begin{align} a^\dagger a=&\frac{1}{2}m\omega(x^2+\frac{p^2}{m^2\omega^2}+i\frac{1}{m\omega}[x,p])\\ =&\frac{1}{2}m\omega(x^2+\frac{p^2}{m^2\omega^2})-\frac{1}{2}\\ =&\frac{\hat{H}}{\omega}-\frac{1}{2} \end{align} \] 得到 \[ \hat{H}=\omega(a^\dagger a+\frac{1}{2}) \] 由Heisenberg方程$\frac{\partial}{\partial t}a=i[H,a]=-i\omega a$可得 \[ a(t)=a(t=0)\mathrm{e}^{-i\omega t} \] 仅对于谐振子，Hamiltonian可以写成上述形式，$a$才是这种振荡形式。

但是，对于非谐振子的系统，仍然可以这样定义$a$和$a^\dagger$。反解出 \[ \left\{ \begin{array}. x=\frac{1}{\sqrt{2m\omega}}(a+a^\dagger)\\ p=-\frac{im\omega}{\sqrt{2m\omega}}(a-a^\dagger) \end{array} \right. \] 这称为振幅展开。

在Heisenberg图象下 \[ \left\{ \begin{array}. \hat{x}_H(t)=\frac{1}{\sqrt{2m\omega}}(\hat{a}_H(t)+\hat{a}_H^\dagger(t))\\ \hat{p}_H(t)=-\frac{im\omega}{\sqrt{2m\omega}}(\hat{a}_H(t)-\hat{a}_H^\dagger(t)) \end{array} \right. \] 对谐振子的系统$\hat{H}_0=\frac{\hat{P}^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^2\hat{x}^2$，$\hat{a}(t)\sim\mathrm{e}^{-i\omega t}$。对于非谐振子系统，$\hat{H}=\hat{H}_0+\hat{V}$。有 \[ \frac{\partial}{\partial t}\hat{a}_H(t)=i[\hat{H}_0+\hat{V},\hat{a}_H(t)] \]

相互作用图象

在Schrödinger图象下将Hamiltonian分解为$\hat{H}=\hat{H}_0+\hat{V}_S$

令 \[ \left\{ \begin{array}. \hat{O}_S\to\hat{O}_I=\mathrm{e}^{i\hat{H}_0t}\hat{O}_S\mathrm{e}^{-i\hat{H}_0t}\\ |a\rangle_S\to|a\rangle_I=\mathrm{e}^{i\hat{H}_0t}|a\rangle_S \end{array} \right. \] 在Schrödinger图象下 \[ \left\{ \begin{array}. i\frac{\partial}{\partial t}|t\rangle_S=\hat{H}|t\rangle_S\\ i\frac{\partial}{\partial t}\hat{O}_S(t)=0 \end{array} \right. \] 在相互作用图象下 \[ \begin{align} &i\frac{\partial}{\partial t}(|t\rangle_I)\\ =&i\frac{\partial}{\partial t}(\mathrm{e}^{i\hat{H}_0t}|t\rangle_S)\\ =&-\hat{H}_0\mathrm{e}^{i\hat{H}_0t}|t\rangle_S+\mathrm{e}^{i\hat{H}_0t}\hat{H}|t\rangle_S\\ =&-\hat{H}_0|t\rangle_I+\mathrm{e}^{i\hat{H}_0t}\hat{H}\mathrm{e}^{-i\hat{H}_0t}|t\rangle_I\\ =&\mathrm{e}^{i\hat{H}_0t}(\hat{H}-\hat{H_0})\mathrm{e}^{-i\hat{H}_0t}|t\rangle_I\\ =&\hat{V}_I(t)|t\rangle_I\\ &\frac{\partial}{\partial t}\hat{O}_I(t)\\ =&\frac{\partial}{\partial t}[\mathrm{e}^{i\hat{H}_0t}\hat{O}_S(t)\mathrm{e}^{-i\hat{H}_0t}]\\ =&i\hat{H}_0\mathrm{e}^{i\hat{H}_0t}\hat{O}_S(t)\mathrm{e}^{-i\hat{H}_0t}+0+\mathrm{e}^{i\hat{H}_0t}\hat{O}_S(t)(-i\hat{H}_0)\mathrm{e}^{-i\hat{H}_0t}\\ =&i\hat{H}_0\mathrm{e}^{i\hat{H}_0t}\hat{O}_S(t)\mathrm{e}^{-i\hat{H}_0t}-i\mathrm{e}^{i\hat{H}_0t}\hat{O}_S(t)\mathrm{e}^{-i\hat{H}_0t}\hat{H}_0\\ =&i[\hat{H}_0,\hat{O}_I(t)] \end{align} \] 即在相互作用图象下 \[ \begin{equation} \left\{ \begin{array}. i\frac{\partial}{\partial t}|t\rangle_I=\hat{V}_I(t)|t\rangle_I\\ \frac{\partial}{\partial t}\hat{O}_I(t)=i[\hat{H}_0,\hat{O}_I(t)] \end{array} \right. \end{equation} \] 可以看到，不同系统，不同的Hamiltonian，按照相同的$\hat{H}_0$分解，得到的算符的演化方式相同。即在相互作用图象下，力学量演化方式同自由系统相同。

2. 传播子与路径积分

量子力学的核心之一是演化的问题，也就是$| i\rangle$如何演化成$| f\rangle$。

采用某一表象，有一组基$\{| n\rangle\}$。我们可以将$| i\rangle$在这组基上展开，也就是 \[ | i\rangle=\sum_nC_n| n\rangle \] 这样就可以只研究$| n\rangle$的演化。在同一表象下，$| n\rangle$演化后的状态依然可以在这组基上展开，即 \[ | n\rangle\longrightarrow\sum_mC_m'| m\rangle \] 求$C_m'$。

时间演化算符和传播子

在Schrödinger图象下，有 \[ \left\{ \begin{array}{} i \frac{\partial}{\partial t}| t\rangle_S=\hat{H}_S| t\rangle_S\\ \frac{\partial}{\partial t}\hat{O}_S(t)=O \end{array} \right. \] 也就是 \[ \left\{ \begin{array}{} | t_f\rangle_S=\mathrm{e}^{-i\hat{H}t}| t=0\rangle_S=\mathrm{e}^{-i\hat{H}_S(t_f-t_i)}| t_i\rangle_S \\ \hat{O}_S(t)=\hat{O}_S(0) \end{array} \right. \]

据此可以定义时间演化算符 \[ \hat{U}_S(t_f,t_i)=\mathrm{e}^{-i\hat{H}_S(t_f-t_i)} \] 这样定义的算符具有时间反演对称性。

定义时间演化算符 \[ \hat{U}_S(t_f,t_i)= \left\{ \begin{array}{} \mathrm{e}^{-i\hat{H}_S(t_f-t_i)} &(t_f>t_i)\\ 0&(t_f<t_i) \end{array} \right. \] 无时间反演对称性，保留了时间平移对称性。

在Heisenberg图象下，有 \[ |t_f\rangle_H=|t_i\rangle_H \] 所以时间演化算符为 \[ \hat{U}_H(t_f,t_i)=\mathbf1 \] 在相互作用图象下 \[ |t_f\rangle=\mathrm{e}^{iH_0t_f}\mathrm{e}^{-iH(t_f-t_i)}\mathrm{e}^{-iH_0t_i}|t_i\rangle\\ \hat{U}_I(t_f,t_i)=\mathrm{e}^{iH_0t_f}\mathrm{e}^{-iH(t_f-t_i)}\mathrm{e}^{-iH_0t_i} \] 定义 Feynman传播子

在坐标表象下 \[ D_F(x_f,t_f;x_i,t_i)=\langle x_f|_S\hat{U}_S(t_f,t_i)| x_i\rangle_S \] 演化问题即求解传播子。

以上的定义是在Schrödinger图象下定义的。在其它的图象下形式类似。特别地，在Heisenberg图象里，量子态不随时间演化，时间演化算符是恒等变换算符，所以有 \[ D_F(x_f,t_f;x_i,t_i)=\langle x_f,t_f| x_i,t_i\rangle_H \]

其中$| x,t\rangle$是$t$时刻位置算符$\hat{X}(t)$本征值为$x$的本征态。

路径积分

求$\langle x_f,t_f| x_i,t_i\rangle$。可以将$t_i\sim t_f$分成$n+1$份，每一份为$\epsilon=\frac{t_f-t_i}{n+1}$。

可以给各个时刻编号，$t_0=t_i,t_1, \dots,t_n,t_{n+1}=t_f$，其中$t_j=t_i+j\epsilon$。对每一个时刻，都有 \[ \int\mathrm{d}x_j| x_j,t_j\rangle\langle x_j,t_j|_H=1 \]

待求$\langle x_f,t_f|x_i,t_i\rangle$，即 \[ \begin{align} &\langle x_f,t_f| x_i,t_i\rangle\\ =&\langle x_f,t_f|\int\mathrm{d}x_{n}| x_{n},t_{n}\rangle\langle x_{n},t_{n}|\int\mathrm{d}x_{n-1}| x_{n-1},t_{n-1}\rangle\langle x_{n-1},t_{n-1}|\cdots\\ &\int\mathrm{d}x_{1}| x_{1},t_{1}\rangle\langle x_{1},t_{1}|x_i,t_i\rangle\\ =&\int\mathrm{d}x_1\mathrm{d}x_2\dots\mathrm{d}x_{n}\prod_{j=1}^{n+1}\langle x_j,t_j| x_{j-1},t_{j-1}\rangle \end{align} \] 下面研究$\langle x_j,t_j| x_{j-1},t_{j-1}\rangle_H$，它也是一个传播子。

回到Schrödinger图象，有 \[ \langle x_j,t_j| x_{j-1},t_{j-1}\rangle_H=\langle x_j|\mathrm{e}^{-i\hat{H}(t_j-t_{j-1})}| x_{j-1}\rangle_S=\langle x_j|\mathrm{e}^{-i\hat{H}\epsilon}| x_{j-1}\rangle_S\\ \hat{H}=\hat{P}^2/2m+\hat{V}(x) \]

对$\mathrm{e}^{-i\hat{H}\epsilon}$做Taylor展开，有 \[ \mathrm{e}^{-i\hat{H}\epsilon}=1-i\epsilon\hat{H}+O(\epsilon^2) \] 代入得 \[ \begin{align} &\langle x_j|\mathrm{e}^{-i\hat{H}\epsilon}| x_{j-1}\rangle\\ =&\langle x_j|1-i\epsilon\hat{H}| x_{j-1}\rangle+O(\epsilon^2)\\ =&(1-i\epsilon\hat{V}(x_j)-i\epsilon\frac{\hat{P}^2(x_j)}{2m})\langle x_j| x_{j-1}\rangle+O(\epsilon^2)\\ =&(1-i\epsilon\hat{V}(x_j)-i\epsilon\frac{\hat{P}^2(x_j)}{2m})\delta(x_j-x_{j-1})+O(\epsilon^2)\\ =&\int\frac{\mathrm{d}p}{2\pi}[1-i\epsilon\hat{V}(x_j)-i\epsilon\frac{\hat{P}^2(x_j)}{2m}]\mathrm{e}^{ip(x_j-x_{j-1})}+O(\epsilon^2)\\ =&\int\frac{\mathrm{d}p}{2\pi}\mathrm{exp}\{-i\epsilon[\hat{V}(x_j)+\frac{\hat{P}^2(x_j)}{2m}]+ip(x_j-x_{j-1})\}+O(\epsilon^2) \end{align} \]

注意，这里的积分并不收敛。为了使之收敛，可以给质量$m$配一个虚部。

而数学上有： \[ \int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{-ax^2+bx+c}\mathrm{d}x=\mathrm{e}^{\frac{b^2}{4a}+c}\cdot\sqrt{\frac{\pi}{a}} \] 代入可得 \[ \langle x_j|\mathrm{e}^{-i\hat{H}\epsilon}| x_{j-1}\rangle=\mathrm{e}^{i\epsilon L_j}\cdot\sqrt{\frac{m}{2\pi i\epsilon}}+O(\epsilon^2) \]

其中$Lj$是系统的Lagrangian。

所以有 \[ \begin{align} \langle x_f,t_f| x_i,t_i\rangle=&\int\mathrm{d}x_1\mathrm{d}x_2\dots\mathrm{d}x_{n}\prod_{j=1}^{n+1}({e}^{i\epsilon L_j}\cdot\sqrt{\frac{m}{2\pi i\epsilon}})+O(\epsilon^2)\\ =&\lim_{n\to\infty}(\frac{m}{2\pi i\epsilon})^{(n+1)/2}\int(\prod_{j=1}^{n}\mathrm{d}x_j)\exp(i\epsilon\sum_{j=1}^{n+1}L_j) \end{align} \] 对分割取极限后，$\epsilon\sum\limits_{j=1}^{n+1}L_j\to\int\mathrm{d}t\cdot L=S$即作用量；积分变量变成对所有可能轨道积分。

常数省略之后，最终有 \[ \langle x_f,t_f| x_i,t_i\rangle=\int\mathcal{D}[x(t)]\mathrm{e}^{iS} \]

含时微扰

在$U_I(t_f,t_i)$中，取$t_f=t,t_i=0$，得到$U_I(t)=\mathrm{e}^{iH_0t}\mathrm{e}^{-iHt}$。容易得到： \[ \frac{\partial}{\partial t}U_I(t)=-iV_I(t)U_I(t) \] 两边积分，得到 \[ U_I(t)=\mathbf1-i\int_0^t\mathrm{d}t_1V_I(t_1)U_I(t_1) \]

不断重复上述过程，得到 \[ \begin{align} U_I(t)&=\mathbf1-i\int_0^t\mathrm dt_1V_I(t_1)+(-i)^2\int_0^t\mathrm dt_2\int_0^{t_2}\mathrm dt_1V_I(t_2)V_I(t_1)+\cdots\\ &=\sum^\infty_{n=0}U_I^{(n)}(t) \end{align} \] 其中 \[ U_I^{(0)}(t)=\mathbf1\\ U^{(n)}_I=\sum_{n=0}^{+\infty}(-i)^n\int_0^t\mathrm dt_n\int_0^{t_n}\mathrm dt_{n-1}\cdots\int_0^{t_n}\mathrm dt_1V_I(t_n)V_I(t_{n-1})\cdots V_I(t_1) \] 引入编时算子$T$，这样有： \[ U_I^{(n)}(t)=(-i)^n\frac{1}{n!}\int_0^t\mathbf d(t_1\cdots t_n)T[V_I(t_n)V_I(t_{n-1})\cdots V_I(t_1)] \] 形式上，$U_I(t)$可以写作 \[ U_I(t)=T\{\exp[-i\int_0^t\mathbf d\tau V_I(\tau)]\} \] 如果需要计算$U_I(t_f,t_i)$，将积分上下限换成$t_f$和$t_i$即可。

传播子也可以做微扰展开。 \[ \begin{align} D_F(x_f,t_f;x_i,t_i)&=\langle x_f|U_S(t_f,t_i)|x_i\rangle\\ \end{align} \] 所以有 \[ \begin{align} D_F^{(n)}(x_f,t_f;x_i,t_i)=&\langle x_f|\mathrm e^{-iH_0t_f}U^{(n)}_I(t_f,t_i)\mathrm e^{iH_0t_i}|x'\rangle\\ =&(-i)^n\int_{t'}^t\mathrm dt_n\int^{t_n}_{t'}\mathrm dt_{n-1}\cdots\int_{t'}^{t_2}\mathrm dt_1\langle x_f|\mathrm e^{-iH_0t_f}V_I(t_n)\\ &\times V_I(t_{n-1})\cdots V_I(t_0)\mathrm e^{iH_0t_i}|x_i\rangle\\ =&(-i)^n\int_{t'}^t\mathrm dt_n\int^{t_n}_{t'}\mathrm dt_{n-1}\cdots\int_{t'}^{t_2}\mathrm dt_1\langle x_f|\mathrm e^{-iH_0t_f}(\mathrm e^{iH_0t_n}V_I\mathrm e^{-iH_0t_n})\\ &\times(\mathrm e^{iH_0t_{n-1}}V_I\mathrm e^{-iH_0t_{n-1}})\cdots (\mathrm e^{iH_0t_{0}}V_I\mathrm e^{-iH_0t_{0}})\mathrm e^{iH_0t_i}|x_i\rangle \end{align} \] 由于指数上的算符互相对易，可以合并，结果为Schrödinger图象下的时间演化算符： \[ \mathrm e^{-iH_0t_{n}}\mathrm e^{iH_0t_{n-1}}=U_S^{(n)}(t_n,t_{n-1}) \] 得到的传播子 \[ \begin{align} D_F^{(n)}(x_f,t_f;x_i,t_i)=&\langle x_f|U_S^{(n)}(t_f,t_i)|x_i\rangle\\ =&\int_{t_i}^{t_f}\mathrm dt_n\int^{t_n}_{t_i}\mathrm dt_{n-1}\cdots\int_{t_i}^{t_2}\mathrm dt_1\\ &\langle x_f|U_S^{(0)}(t_f,t_n)(-iV)U_S^{(0)}(t_n,t_{n-1})(-iV)\cdots U_S^{(0)}(t_2,t_1)(-iV)U_S^{(0)}(t_1,t_i)|x_i\rangle \end{align} \] 这一表达式可以理解为：在Schrödinger图象下，$t_i$时刻的位置算符$X_i$本征态$|x_i\rangle$，首先自由演化到$t_1$时刻；发生一次相互作用；接着自由演化到$t_2$时刻；……以此类推，在$t_n$发生第$n$次相互作用，最后自由演化到$t_f$时刻。

接下来，在$(-iV)U_S^{(0)}(t_k,t_{k-1})$的中间插入完备性条件$\int\mathrm dx_k|x_k\rangle\langle x_k|$，由于$\hat{V}|x\rangle=V(x)|x\rangle$，得到： \[ \begin{align} D_F^{(n)}(x_f,t_f;x_i,t_i)=&\int_{t_i}^t\mathrm dt_n\int^{t_n}_{t_i}\mathrm dt_{n-1}\cdots\int_{t_i}^{t_2}\mathrm dt_1\int\mathrm d(x_1,\cdots,x_n)[-iV(x_1)][-iV(x_2)]\cdots[-iV(x_n)]\\ &\langle x_f|U_S^{(0)}(t_f,t_n)|x_n\rangle\langle x_n|U_S^{(0)}(t_n,t_{n-1})|x_{n-1}\rangle\cdots\langle x_1|U_S^{(0)}(t_1,t_i)|x_i\rangle\\ =&(-i)^n\int\mathrm d(x_1,\cdots,x_n)\int_{\mathbb D}\mathrm d(t_1,\cdots,t_n)V(x_1)\cdots V(x_n)\\ &D_F^{(0)}(x_f,t_f;x_n,t_n)\cdots D_F^{(0)}(x_1,t_1;x_i,t_i) \end{align} \] 其中时间的积分范围是$t_f>t_n>t_{n-1}>\cdots>t_1>t_i$。

式中的自由传播子可以写成路径积分的形式： \[ D_F^{(0)}(x_k,t_k;x_{k-1},t_{k-1})=\int\mathcal D[x(t)]\mathrm e^{i\int^{t_k}_{t_{k-1}}\mathrm d\tau L_0} \] $L_0$是自有系统的Lagrangian。

从而有 \[ \begin{align} D_F^{(n)}(x_f,t_f;x_i,t_i)=&(-i)^n\int_{\mathbb D}\mathrm d(t_1,\cdots,t_n)\int\mathrm d(x_1\cdots x_n)V(x_1)\cdots V(x_n)\\ &D_F^{(0)}(x_f,t_f;x_n,t_n)\cdots D_F^{(n)}(x_1,t_1;x_i,t_i)\\ =&(-i)^n\int_{\mathbb D}\mathrm d(t_1,\cdots,t_n)\int\mathcal D[x(t)]\{V[x(t_1)]\cdots V[x(t_n)]\mathrm e^{i\int^{t_f}_{t_i}L_0\mathrm dt}\}\\ =&(-i)^n\frac{1}{n!}\int^{t_f}_{t_i}\mathrm d(t_1,\cdots,t_n)\int\mathcal D[x(t)]\{V[x(t_1)]\cdots V[x(t_n)]\mathrm e^{i\int^{t_f}_{t_i}L_0\mathrm dt}\}\\ =&\frac{1}{n!}\int\mathcal D[x(t)](-i\int^{t_f}_{t_i}V[x(t)]\mathrm dt)^n\times\mathrm e^{i\int^{t_f}_{t_i}L_0\mathrm dt} \end{align} \]

频率表象

我们已经知道，位置算符和动量算符互为Fourier变换和反变换，即 \[ \langle\vec{r}|\vec{p}\rangle=\mathrm{e}^{i\vec{p}\cdot\vec{r}} \] 而时间变量也可以做Fourier变换，得到频率。

在相对论力学中，位置和时间共同构成四矢量$x=(t,\vec{r})$，其Fourier变换得到的参量是$p=(\omega,\vec{p})$。任意场量的Fourier变换： \[ \psi(\vec{r},t)=\int\frac{\mathrm{d^3}\vec{p}}{(2\pi)^3}\frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi}\mathrm{e}^{i\vec{p}\cdot\vec{r}}\mathrm{e}^{-i\omega t}\varphi(\vec{p},\omega) \] 或 \[ \varphi(p)=\mathscr{F}[\psi(x)]=\int\mathrm{d^4}x\psi(x)\mathrm{e}^{ipx}\\ \psi(x)=\mathscr{F}^{-1}[\varphi(p)]=\int\mathrm{d^4}p\varphi(p)\mathrm{e}^{-ipx} \] 在非相对论的情况下，可以仅讨论时间的Fourier变换。 \[ f(t)\to f(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{d}tf(t)\mathrm{e}^{i\omega t}\\ f(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi}f(\omega)\mathrm{e}^{-i\omega t} \] 计算时间演化算符的Fourier变换： \[ \begin{align} \hat{U}_S(\omega)&=\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{d}t\hat{U}_S(t)\mathrm{e}^{i\omega t}\\ &=\int_{0}^{+\infty}\mathrm{d}t\mathrm{e}^{-i\hat{H}_S(t)}\mathrm{e}^{i\omega t} \end{align} \] 可以发现，这样的积分并不收敛。

为使之收敛，可以在后面加上一个衰减因子$\mathrm{e}^{-\epsilon t}$，这时可以认为，我们转而研究一个新的系统$\hat{U}_S^{(\epsilon)}(t)=\Theta(t)\cdot\mathrm{e}^{-i(\hat{H}-i\epsilon)t}$。这个系统的时间演化算符的Fourier变换（即频率表象下的时间演化算符）是收敛的，可以继续研究新系统的性质。在研究完毕后，将所有结果取极限$\epsilon\to0$，回到原系统。

下面计算这个加了衰减因子的新系统的时间演化算符。为方便起见，省略上标中的$(\epsilon)$。 \[ \begin{align} \hat{U}_S(\omega)=&\int\mathrm{d}t\Theta(t)\mathrm{e}^{-i(\hat{H}-i\epsilon)t}\cdot\mathrm{e}^{i\omega t}\\ =&\int_0^{+\infty}\mathrm{d}t\mathrm{e}^{i(\omega-\hat{H}+i\epsilon)t}\\ =&\left.\frac{1}{i(\omega-\hat{H}+i\epsilon)}\mathrm{e}^{i(\omega-\hat{H}+i\epsilon)t}\right|^{t=+\infty}_{t=0}\\ =&\frac{i}{\omega-\hat{H}+i\epsilon}\\ =&i\hat{\mathcal{K}}(\omega) \end{align} \] 对$\hat{\mathcal K}(\omega)$也可以做微扰展开： \[ \begin{align} \hat{\mathcal K}(\omega)=&\frac{1}{\omega-(\hat H_0+\hat{V})+i\epsilon}\\ =&\frac{1}{(\omega-\hat{H}_0+i\epsilon)-\hat V}\\ =&\frac{1}{(\omega-\hat H_0+i\epsilon)[1-\frac{\hat V}{\omega-\hat H_0+i\epsilon}]}\\ =&\frac{1}{1-\frac{\hat V}{\omega-\hat H_0+i\epsilon}}\frac{1}{\omega-\hat H_0+i\epsilon}\\ =&\sum_{n=0}^{+\infty}(\frac{1}{\omega-\hat H_0+i\epsilon}\hat V)^n\frac{1}{\omega-\hat H_0+i\epsilon} \end{align} \] 所以有 \[ \hat U(\omega)=\hat U^{(0)}(\omega)+\hat U^{(0)}(\omega)(-i\hat V)\hat U^{(0)}(\omega)+\cdots \]

3. 相对论量子力学

Schrödinger方程，即非相对论的波动方程，为： \[ i\frac{\partial}{\partial t}\psi(\mathbf r,t)=\hat H\psi(\mathbf r,t)=[-\frac{\nabla^2}{2m}+V(\mathbf r)]\psi(\mathbf r,t) \] 方程中对空间的导数为二阶，对时间的导数为一阶。时空地位不相同，不符合相对论的精神。

改造Schrödinger方程，使时空地位想等。如果将时间导数改为二阶，即为Klein-Gordon方程；如果将空间导数改为一阶，即为Dirac方程。

四矢量、算符

在相对论中，粒子能动量满足关系： \[ E^2=\mathbf p^2+m^2 \] 相应地，粒子的Hamiltonian满足： \[ \hat{H}^2=\mathbf{\hat{p}}^2+m^2 \] 可以据此定义四矢量 \[ p^\mu=(p^0,p^1,p^2,p^3)=(E,\mathbf p)\\ p_\mu=(p_0,p_1,p_2,p_3)=(E,-\mathbf p) \] 这样有 \[ p^2=p^\mu p_\mu=E^2-\mathbf{p}^2 \] 在实空间，定义 \[ x^\mu=(t,\mathbf r)\\ \frac{\partial}{\partial x^\mu}=\partial_\mu \]

定义算符

\[ \hat p^\mu=i\partial^\mu \] 这样 \[ \hat p^0=\hat H\\ \hat{\mathbf p}=-i\nabla \]

注：在上述定义中，希腊字母从$0$取到$3$，拉丁字母从$1$取到$3$，上下指标成对出现表示求和。

Klein-Gordon方程

Hamiltonian的形式为$\hat H=\sqrt{\hat{\mathbf p}^2+m^2}$。为了能够处理算符的超越函数，将Schrödinger方程两边再做时间的导数： \[ -\frac{\partial^2}{\partial t^2}\psi(\mathbf r,t)=\hat H^2\psi(\mathbf r,t)=(-\nabla^2+m^2)\psi(\mathbf r,t) \] 即 \[ (\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2+m^2)\psi(\mathbf r,t)=0\\ \text{or}\\ (\partial_\mu\partial^\mu+m^2)\psi(\mathbf r,t)=0 \] 此即Klein-Gordon方程。

当能量满足质能方程$E^2=\mathbf p^2+m^2$时，解的形式为： \[ \psi(x,t)=N\mathrm e^{-i(Et-\mathbf p\cdot\mathbf r)}=N\mathrm e^{-ip^\mu x_\mu} \] 时间项是$\mathrm e^{-iEt}$，空间项是平面波，这是我们对质量为$m$的自由粒子所期望的形式。

Dirac方程

为了避免出现时间的二阶导数，同时保持方程的协变性，可以将方程写成如下形式（$\gamma$和$m$都应理解为待定的系数）： \[ (i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi(\mathbf r,t)=0 \] 我们仍然需要让自由粒子的能量满足质能方程。

在上述方程两边作用上$-i\gamma^\nu\partial_\nu-m$，得到： \[ (\gamma^\nu\partial_\nu\gamma^\mu\partial_\mu+m^2)\psi(\mathbf r,t)=0 \] 假设$\gamma^\mu$和$\partial_\nu$对易，进一步假设$\gamma^\nu\gamma^\mu\partial_\nu\partial_\mu=\partial^\mu\partial_\mu=g^{\mu\nu}\partial_\nu\partial_\mu$，其中$g^{\mu\nu}$是度规，$g=diag\{1,-1,-1,-1\}$。

最终得到： \[ \{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}=2g^{\mu\nu} \] 容易看出，$\gamma$不是复数，而是满足如下Clifford代数的实体： \[ \begin{align} (\gamma^0)^2=&1\\ (\gamma^i)^2=&-1\\ \gamma^\mu\gamma^\nu=&-\gamma^\nu\gamma^\mu\ \ \ \ \text{if}\ \mu\ne\nu \end{align} \] 可以用四维矩阵来实现这个代数，得到 \[ \boldsymbol\gamma= \left( \begin{array}{c} 0&\boldsymbol\tau\\ -\boldsymbol\tau&0 \end{array} \right) \ \ \text{and}\ \ \beta= \left( \begin{array}{c} 0&I_2\\ I_2&0 \end{array} \right) \] 将自由粒子的波函数代入Dirac方程，得到 \[ \gamma^\mu p_\mu-m=0 \] 两边乘$\gamma^0$，得 \[ E=\gamma^0\boldsymbol{\gamma}\cdot\mathbf{p}+\gamma^0m \] 定义 \[ \alpha_i=\gamma^0\gamma^i,\ \beta=\gamma^0 \] 得到 \[ \hat H=\boldsymbol\alpha\cdot\mathbf p+\beta m \]

四维矩阵的展开

我们已经知道，二维矩阵可以用Pauli矩阵展开。而$\gamma$矩阵进行组合后可以用来展开四维矩阵。

用来展开的16个基矩阵是： \[ I_4;\\\gamma^0,\gamma^1,\gamma^2,\gamma^3;\\ \gamma^5=i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3;\\ \gamma^0\gamma^5,\gamma^1\gamma^5,\gamma^2\gamma^5,\gamma^3\gamma^5;\\ \Sigma^{\mu\nu}=\frac{i}{4}[\gamma^\mu,\gamma^\nu]\ \ \ \ (\mu\ne\nu) \] 考察$\Sigma^{\mu\nu}$： \[ (\Sigma^{23},\Sigma^{31},\Sigma^{12})=\frac{1}{2} \left( \begin{array}{c} \boldsymbol{\tau}&\\ &\boldsymbol{\tau} \end{array} \right) =\boldsymbol\sigma/2;\\ \Sigma^{0i}=\gamma^0\gamma^i=\alpha^i \] 其中$\boldsymbol\sigma$称为自旋矩阵，是空间旋转变换的生成元；$\boldsymbol\alpha$称为速度矩阵，是时空平移变换的生成元。

求解Dirac方程

比起上面的Weyl表象来，在Dirac表象下解Dirac方程更加方便。取 $$ { \begin{array}{rl} &_D^0=-_W^5\ &_D=_W\ &_D^5=_W^0

\end{array} . \[ Dirac方程 \] i(r,t)=H(r,t) $$ 其中$\hat H(\hat{\mathbf p})=\boldsymbol\alpha\cdot\mathbf{\hat p}+\beta m$。

Hamiltonian不含时，定态方程 \[ \hat H\psi_n(\mathbf r)=E_n\psi_n(\mathbf r) \] 解空间存在简并。

可考虑用与Hamiltonian对易的动量算符标记子空间，于是增加动量的$3$个本征方程，变为： \[ \left\{ \begin{array}{c} \hat{\mathbf p}\psi_{\mathbf p,E}(\mathbf r)=\mathbf p\psi_{\mathbf p,E}(\mathbf r)\\ \hat H(\hat{\mathbf p})\psi_n(\mathbf r)=E_n\psi_n(\mathbf r) \end{array} \right. \] 或者直接写成 \[ \hat p^\mu\psi_{p^\mu}(\mathbf r)=p^\mu\psi_{p^\mu}(\mathbf r) \] 对波函数做Fourier展开，即 \[ \psi(\mathbf r)=\sum_{\mathbf p}\psi(\mathbf p)\mathrm e^{i\mathbf p\cdot\mathbf r}/\sqrt\Omega \] 先解本征值$E$。

将Hamiltonian和$\psi(\mathbf r)$代入Dirac方程，得到： \[ (\boldsymbol{\alpha}\cdot\hat{\mathbf p}+\beta m)\psi_{E,\mathbf p}(\mathbf p)=E\psi_{E,\mathbf p}(\mathbf p) \]

两边同乘$(\boldsymbol\alpha\cdot\hat{\mathbf p}+\beta m)$： \[ (\hat{\mathbf p}^2+m^2)\psi_{E,\mathbf p}(\mathbf p)=E^2\psi_{E,\mathbf p}(\mathbf p) \] 得到 \[ E^2=\mathbf p^2+m^2\\ E=\pm\sqrt{\mathbf p^2+m^2} \] 所以 \[ \left\{ \begin{array}{c} (\boldsymbol\alpha\cdot\hat{\mathbf p}+\beta m)\psi_{+E,\mathbf p}(\mathbf p)=+E\psi_{+E,\mathbf p}(\mathbf p)\\ (\boldsymbol\alpha\cdot\hat{\mathbf p}+\beta m)\psi_{-E,\mathbf p}(\mathbf p)=-E\psi_{-E,\mathbf p}(\mathbf p) \end{array} \right. \] 记 \[ \left\{ \begin{array}{c} \psi_{+E,\mathbf p}(\mathbf p)=\psi_{+,\mathbf p}(\mathbf p)=U(\mathbf p)\\ \psi_{-E,\mathbf p}(\mathbf p)=\psi_{-,\mathbf p}(\mathbf p)=V(-\mathbf p) \end{array} \right. \] 这里$V$中的符号，标记的是能量为$-E$，动量仍为$\mathbf p$。

将波函数分别用$U$、$V$表示后，得到的两个Dirac方程被称为正能、负能方程。

特别地，我们考察动量为$\mathbf p=0$的粒子，即静止粒子的正能方程。 \[ \beta mU(0)=EU(0)=mU(0) \] 解出 \[ U(0)=(1,0,0,0)^T\ \ \text{or}\ \ (0,1,0,0)^T \]

这表明，对同一组$E,\mathbf p$，系统仍有简并。

定义螺度算子（Helicity)： \[ \hat{h}=\boldsymbol{\sigma}\cdot\frac{\hat{\mathbf p}}{|\mathbf p|} \] 它同Hamiltonian对易，可以用来解除简并。这样，正能方程变为： \[ \left\{ \begin{array}{c} (\boldsymbol\alpha\cdot\hat{\mathbf p}+\beta m)U_r(\mathbf p)=EU_r(\mathbf p)\\ \boldsymbol{\sigma}\cdot\frac{\mathbf p}{|\mathbf p|}U_r(\mathbf p)=rU_r(\mathbf p) \end{array} \right. \] 其中$r=\pm1$。

螺度是Dirac系统的守恒量，这可以通过$[\hat h,\hat H]=0$验证。

电荷共轭

先定义电荷共轭操作： \[ \psi\mapsto\psi^c=c\bar\psi^T \] 其中Dirac共轭为： \[ \bar\psi=\psi^\dagger\gamma^0 \] 待定矩阵$c$需要满足下面的性质： \[ c{\gamma^\mu}^Tc^{-1}=-\gamma^\mu \] $c$可以取为： \[ c=i\gamma^0\gamma^2 \] 这个解并不唯一。

可以验证，正能方程的解做电荷共轭后得到的$U^c_r(\mathbf p)$是Dirac方程能量为$-E$，动量为$-\mathbf p$，螺度为$r$的本征态，所以可以令 \[ U^c_r(\mathbf p)=V_r(\mathbf p) \] 即电荷共轭变换将粒子变为能动量相反、螺度相同的反粒子。

投影算子

用能量和动量的正负标记解空间，如图：

空间中的基函数满足正交归一性： \[ U_r^\dagger(\mathbf p)U_s^\dagger(\mathbf p)=\delta_{rs}\\ V_r^\dagger(\mathbf p)V_s^\dagger(\mathbf p)=\delta_{rs}\\ U_r^\dagger(\mathbf p)V_s^\dagger(-\mathbf p)=0 \]

将解空间分割为正能空间和负能空间，即 \[ \psi=\hat{P}_+\psi+\hat{P}_-\psi \] 其中两个投影算符分别为 \[ \left\{ \begin{array}{c} \hat{P}_+=\frac{\hat{H}(\hat{\mathbf p})+E}{2E}=\sum_\limits{r=\pm}U_r(\mathbf p)U_r^\dagger(\mathbf p)\\ \hat{P}_-=\frac{-\hat{H}(\hat{\mathbf p})+E}{2E}=\sum_\limits{r=\pm}V_r(-\mathbf p)V_r^\dagger(-\mathbf p)\\ \end{array} \right. \] 表示将本征态投影到同侧、上下两个子空间。

满足性质 \[ \left\{ \begin{array}{l} \hat P_+^2=P_+\\ \hat P_-^2=P_-\\ \hat P_+\hat P_-=\hat P_-\hat P_+=0\\ \hat P_++\hat P_-=1 \end{array} \right. \] 同时也可以将本征态投影到对角线上的两个子空间。对应的投影算符为： \[ \left\{ \begin{array}{l} \hat{\Pi}_+=\frac{/\kern-0.4em p+m}{2E}=\sum_\limits{r=\pm}U_r(\mathbf p)\bar{U}_r(\mathbf p)\\ \hat{\Pi}_-=\frac{-/\kern-0.4em p+m}{2E}=\sum_\limits{r=\pm}V_r(\mathbf p)\bar{V}_r(\mathbf p)\\ \end{array} \right. \] 其中Feynman斜线标记的定义为： \[ /\kern-0.65em A=\gamma^\mu A_\mu \] 这组投影算符满足性质 \[ \left\{ \begin{array}{l} \hat \Pi_+^2= \Pi_+\cdot\frac{m}{E}\\ \hat \Pi_-^2= \Pi_-\cdot\frac{m}{E}\\ \hat \Pi_+\hat \Pi_-=\hat \Pi_-\hat \Pi_+=0\\ \hat \Pi_++\hat \Pi_-=\frac{m}{E} \end{array} \right. \]

二次量子化

将投影算子的完备性条件乘在动量空间的波函数上，得到： \[ \begin{align} \psi(\mathbf p,t)&=\sum_{r=\pm}[U_r(\mathbf p)\bar{U}_r(\mathbf p)+V_r(-\mathbf p)\bar{V}_r(-\mathbf p)]\psi(\mathbf p,t)\\ &=\sum_{r=\pm}[a_r(\mathbf p,t)U_r(\mathbf p)+b_r^\dagger(-\mathbf p,t)V_r(-\mathbf p)] \end{align} \] 其中产生、湮灭算符定义为： \[ \left\{ \begin{array}{l} a_r(\mathbf p,t)=U_r^\dagger(\mathbf p)\psi(\mathbf p,t)\\ b_r^\dagger(-\mathbf p,t)=V_r(\mathbf p)\psi(\mathbf p,t) \end{array} \right. \] 满足对易关系 \[ [a(\mathbf p,t),a^\dagger(\mathbf p',t)]=\delta_{\mathbf p,\mathbf p'} \] 代入波函数的Fourier变换公式，得到 \[ \left\{ \begin{array}{l} a_r(\mathbf p,t)=\int\mathrm d^3\mathbf rU_r^\dagger(\mathbf r)\psi(\mathbf r,t)\mathrm e^{-i\mathbf p\cdot \mathbf r}/(2\pi)^{3/2}\\ b_r(\mathbf p,t)=\int\mathrm d^3\mathbf r\psi^\dagger(\mathbf r,t)V_r(\mathbf r)\mathrm e^{-i\mathbf p\cdot \mathbf r}/(2\pi)^{3/2}\\ \end{array} \right. \] 位置空间的波函数写成 \[ \psi(\mathbf r,t)=\sum_{r=\pm}\int\mathrm d^3\mathbf p[a_r(\mathbf p,t)U_r(\mathbf p)+b_r^\dagger(-\mathbf p,t)V_r(-\mathbf p)]\frac{\mathrm e^{i\mathbf p\cdot\mathbf r}}{(2\pi)^{3/2}} \] 波函数满足的对易关系 \[ [\psi(\mathbf r,t),\psi(\mathbf r',t)]=\delta^{(3)}(\mathbf r-\mathbf r') \]

Maxwell理论

电磁场的势为 \[ A=(\phi,\mathbf A) \] 带电粒子在电磁场中运动的Lagrangian： \[ L=-m+\frac{1}{2}m\dot{\mathbf r}^2-e\phi+e\dot{\mathbf r}\cdot\mathbf A \] 正则动量： \[ \frac{\partial L}{\partial\dot{\mathbf r}}=m\dot{\mathbf r}+e\mathbf A \] 根据Euler-Lagrange方程，得到 \[ \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\frac{\partial L}{\partial\dot{\mathbf r}})=\frac{\partial L}{\partial\mathbf r} \] 解出 \[ \mathbf F=m\frac{\mathrm d\dot{\mathbf r}}{\mathrm dt}=e(-\nabla\phi-\frac{\partial\mathbf A}{\partial t})+e\dot{\mathbf r}\times\nabla\times\mathbf A=e\mathbf E+e\dot{\mathbf r}\times\mathbf B \] 即Lorentz力。

做Legendre变换得到系统的Hamiltonian： \[ H=\dot{\mathbf r}\cdot\frac{\partial L}{\partial\dot{\mathbf r}}-L=m+\frac{(\mathbf p-e\mathbf A)^2}{2m}+e\phi \] 对电磁场，定义电磁张量 \[ F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu \] 以$A$作为广义坐标，系统的Lagrangian： \[ L=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} \] 对广义坐标和广义速度求导数，得到： \[ \begin{align} \frac{\partial F_{\mu\nu}}{\partial(\partial_\lambda A_\kappa)}&=\delta^\lambda_\mu\delta^\kappa_\nu-\delta^\lambda_\nu\delta^\kappa_\mu\\ \frac{\partial F_{\mu\nu}}{\partial A_\lambda}&=0 \end{align} \] 所以 \[ \frac{\partial}{\partial(\partial_\lambda A_\kappa)}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}=4F^{\lambda\kappa} \] 代入Euler-Lagrange方程，得到 \[ \partial_\mu\frac{\partial L}{\partial(\partial_\mu A_\nu)}-\frac{\partial L}{\partial A_\mu}=0 \] 即 \[ -\partial_\mu F^{\mu\nu}=0 \] 同时根据$F^{\mu\nu}$的定义及轮换性质，容易推出 \[ \partial_\mu F_{\nu\lambda}+\partial_\nu F_{\lambda\mu}+\partial_\lambda F_{\mu\nu}=0 \] 代入 \[ \left\{ \begin{array}{l} E^i=-F^{0i}\\ \epsilon^{ijk}B_k=-F^{ij} \end{array} \right. \] 即可得到Maxwell方程组。

4. 对称性

空间反演（Dirac系统）

定义宇称操作$\hat P$： \[ \hat\psi(x)\mapsto\hat\psi'(x)=\hat P\hat\psi(x)\hat{P}^{-1}=\eta_p\gamma^0\hat\psi(x_p) \] 其中 \[ x=(t,\mathbf r),\ \ x_p=(t,-\mathbf r) \] $\eta_p$标记相位因子。

写出场算符的二次量子化表示： \[ \hat\psi(x)=\sum_{\mathbf p}\frac{\mathrm e^{i\mathbf p\cdot\mathbf r}}{\sqrt\Omega}\frac{1}{2E}\sum_{\lambda=\pm}[\hat a_{\lambda}(\mathbf p)\mathrm e^{-iEt}U_\lambda(\mathbf p)+\hat b^\dagger_\lambda(-\mathbf p)\mathrm e^{iEt}V_\lambda(-\mathbf p)] \] 如果动量连续，则将求和变成积分即可。

反解出产生湮灭算符 \[ \left\{ \begin{array}{l} \hat{a}_\lambda(\mathbf p)=\int\mathrm d^3\mathbf r\frac{\mathrm e^{ipx}}{\sqrt{2E}}U_\lambda^\dagger(\mathbf p)\hat\psi(x)\\ \hat b_\lambda^\dagger(\mathbf p)=\int\mathrm d^3\mathbf r\frac{\mathrm e^{-ipx}}{\sqrt{2E}}V_\lambda^\dagger(\mathbf p)\hat\psi(x) \end{array} \right. \]

则 \[ \begin{align} \hat P\hat a_\lambda(\mathbf p)\hat P^{-1}&=\int\mathrm d^3\mathbf r\frac{\mathrm e^{ipx}}{\sqrt{2E}}U^\dagger_\lambda(\mathbf p)\hat P\hat\psi(x)\hat P^{-1}\\ &=\int\mathrm d^3\mathbf r\frac{\mathrm e^{ipx}}{\sqrt{2E}}\eta_p[\gamma^0U_\lambda(\mathbf p)]^\dagger\hat\psi(x_p) \end{align} \] 其中 \[ \gamma^0U_\lambda(\mathbf p)= \left\{ \begin{array}{l} U_\lambda(-\mathbf p)\ \ \ \ \text{if }\lambda\ \text{denotes spin}\\ U_{-\lambda}(-\mathbf p)\ \ \ \ \text{if }\lambda\ \text{denotes helicity}\\ \end{array} \right. \] 这里讨论自旋体系，得到 \[ \begin{align} \hat P\hat a_\lambda(\mathbf p)\hat P^{-1}&=\eta_p\int\mathrm d^3\mathbf r\frac{\mathrm e^{ipx}}{\sqrt{2E}}U_\lambda^\dagger(-\mathbf p)\hat\psi(x_p)\\ &=\eta_p\int\mathrm d^3\mathbf r\frac{\mathrm e^{ip_px_p}}{\sqrt{2E}}U_\lambda^\dagger(-\mathbf p)\hat\psi(x_p)\\ &=\eta_p\int\mathrm d^3\mathbf r\frac{\mathrm e^{ip_px}}{\sqrt{2E}}U_\lambda^\dagger(-\mathbf p)\hat\psi(x)\\ &=\eta_p\hat a_\lambda(-\mathbf p) \end{align} \] 同理得到对$b$的宇称变换公式。综上， \[ \left\{ \begin{array}{l} \hat P\hat a_\lambda(\mathbf p)\hat P^{-1}=\eta_p\hat a_\lambda(-\mathbf p)\\ \hat P\hat b^\dagger_\lambda(\mathbf p)\hat P^{-1}=\eta_p\hat a_\lambda(-\mathbf p) \end{array} \right. \] 同时，宇称算符还应该满足 \[ \hat P\mathcal{L}\hat P^{-1}=\mathcal{L}\ \ \text{and}\ \ \hat P|0\rangle=|0\rangle \] 其中Lagrangian为$\mathcal{L}=\bar\psi(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi$，$|0\rangle$是真空态。

用产生算符定义原子态： \[ \left\{ \begin{array}{l} \hat a_\lambda^\dagger(\mathbf p)|0\rangle=|\mathbf p,\lambda\rangle\\ \hat b_\lambda^\dagger(\mathbf p)|0\rangle=|\tilde{\mathbf p},\lambda\rangle\\ \end{array} \right. \] 其中用tilde表示反粒子。

这样，有 \[ \left\{ \begin{array}{l} \hat P|\mathbf p,\lambda\rangle=\eta^*_p|-\mathbf p,\lambda\rangle\\ \hat P|\tilde{\mathbf p},\lambda\rangle=-\eta_p|-\tilde{\mathbf p},\lambda\rangle\\ \end{array} \right. \]

电荷共轭

定义电荷共轭操作$\hat C$： \[ \hat\psi(x)\mapsto\hat\psi'(x)=\hat C\hat\psi(x)\hat C^{-1}=\eta_c\hat\psi^c(x) \] 容易证明： \[ \hat C\hat\psi^c(x)\hat C^{-1}=\eta_c^*\hat\psi(x) \] 同上，将场算符写成二次量子化的形式，可以推出产生湮灭算符的电荷共轭： \[ \left\{ \begin{array}{l} \hat C\hat a_\lambda(\mathbf p)\hat C^{-1}=\eta_c\hat b_\lambda(\mathbf p)\\ \hat C\hat b^\dagger_\lambda(\mathbf p)\hat C^{-1}=\eta_c^*\hat a^\dagger_\lambda(\mathbf p) \end{array} \right. \] 假定$\hat C|0\rangle=|0\rangle$，有 \[ \left\{ \begin{array}{l} \hat C|\mathbf p,\lambda\rangle=\eta_c^*|\tilde{\mathbf p},\lambda\rangle\\ \hat C|\tilde{\mathbf p},\lambda\rangle=\eta_c|\mathbf p,\lambda\rangle\\ \end{array} \right. \]

5. 散射

两体散射

研究两个粒子在相互作用下的演化问题。设系统的初态为 \[ |\mathbf p^i_1,\mathbf p^i_2\rangle \] 末态 \[ |\mathbf p^f_1,\mathbf p^f_2\rangle \] 相互作用为$\hat V$，定义为 \[ \langle\mathbf r_1',\mathbf r_2'|\hat V|\mathbf r_1,\mathbf r_2\rangle=\delta^{(3)}(\mathbf r_1'-\mathbf r_1)\delta^{(3)}(\mathbf r_2'-\mathbf r_2)V(\mathbf r_1-\mathbf r_2) \] 采取质心系，做变换 \[ \left\{ \begin{array}{l} \mathbf r=\mathbf r_1-\mathbf r_2\\ \mathbf R=\frac{m_1\mathbf r_1+m_2\mathbf r_2}{m_1+m_2} \end{array} \right. \] 反变换： \[ \left\{ \begin{array}{l} \mathbf r_1=\mathbf R+\frac{m_2}{m_1+m_2}\mathbf r\\ \mathbf r_2=\mathbf R-\frac{m_1}{m_1+m_2}\mathbf r \end{array} \right. \] 其中$\mathbf r$是相对坐标，$\mathbf R$是质心坐标。相应地，可以定义相对动量$\mathbf p=-i\frac{\partial}{\partial\mathbf r}$，和质心动量$\mathbf P=-i\frac{\partial}{\partial\mathbf R}$，可以得到 \[ \left\{ \begin{array}{l} \mathbf p=\frac{m_2}{m_1+m_2}\mathbf p_1-\frac{m_1}{m_1+m_2}\mathbf p_2\\ \mathbf P=\mathbf p_1+\mathbf p_2 \end{array} \right. \] 下面计算相互作用的矩阵元。 \[ \begin{align} &\langle\mathbf p_1^f,\mathbf p_2^f|\hat V|\mathbf p_1^i,\mathbf p_2^i\rangle\\ =&\int\mathrm d^3\mathbf r_1\mathrm d^3\mathbf r_2\langle\mathbf p_1^f,\mathbf p_2^f|\hat V|\mathbf r_1,\mathbf r_2\rangle\langle\mathbf r_1,\mathbf r_2|\mathbf p_1^i,\mathbf p_2^i\rangle\\ =&\int\mathrm d^3\mathbf r_1\mathrm d^3\mathbf r_2V(\mathbf r_1-\mathbf r_2)\langle\mathbf p_1^f,\mathbf p_2^f|\mathbf r_1,\mathbf r_2\rangle\langle\mathbf r_1,\mathbf r_2|\mathbf p_1^i,\mathbf p_2^i\rangle\\ =&\int\mathrm d^3\mathbf r\mathrm d^3\mathbf RV(\mathbf r)\mathrm e^{-i(\mathbf p^f\cdot \mathbf r+\mathbf P^f\cdot\mathbf R)}\mathrm e^{i(\mathbf p^i\cdot \mathbf r+\mathbf P^i\cdot\mathbf R)}\\ =&\int\mathrm d^3\mathbf R\ \mathrm e^{i(\mathbf P^i-\mathbf P^f)\cdot\mathbf R}\times\int\mathrm d^3\mathbf rV(\mathbf r)\mathrm e^{i(\mathbf p^i-\mathbf p^f)\cdot\mathbf r}\\ =&(2\pi)^3\delta^{(3)}(\mathbf P^i-\mathbf P^f)\int\mathrm d^3\mathbf rV(\mathbf r)\mathrm e^{i(\mathbf p^i-\mathbf p^f)\cdot\mathbf r}\\ =&(2\pi)^3\delta^{(3)}(\mathbf P^i-\mathbf P^f)\langle\mathbf p^f|\hat V|\mathbf p^i\rangle \end{align} \] 可以看出，采取质心系之后二体散射变成单体散射，同时需满足动量守恒。这个结论成为因子化定理。下面只讨论单体散射即可。

单体散射

在相互作用图象下，系统Hamiltonian写为 \[ \hat H=\hat H_0+\hat V \] 自由系统的Hamiltonian的能谱可以求解，其本征态$|\phi\rangle$的能量为$E$。

假设系统在$t=-\infty$时，处在自由系统的本征态上；在$t=+\infty$时，又回到自由系统的另一个本征态。即 \[ \left\{ \begin{array}{l} |i\rangle=\mathrm e^{-iE_it}|\phi_i\rangle\ \ \ \ t\to-\infty\\ |f\rangle=\mathrm e^{-iE_ft}|\phi_f\rangle\ \ \ \ t\to+\infty\\ \end{array} \right. \] 研究跃迁振幅： \[ \begin{align} &\langle f|\hat U(t,t')|i\rangle\\ =&\langle f|\int\mathrm d\omega\ \frac{1}{2\pi}\mathrm e^{-i\omega(t'-t)}i\hat{\mathcal{K}}(\omega)|i\rangle \end{align} \] 在第二章中，我们将$\hat{\mathcal K}(\omega)$做了微扰展开。代入上式，得到 \[ \begin{align} &\langle f|\hat U(t,t')|i\rangle\\ =&i\int\frac{\mathrm d\omega}{2\pi}\mathrm e^{i(E_f-\omega)t'-i(E_i-\omega)t}\\ &\langle\phi_f|\frac{1}{\omega-\hat H_0+i\epsilon}+\frac{1}{\omega-\hat H_0+i\epsilon}\hat V\frac{1}{\omega-\hat H_0+i\epsilon}+\cdots|\phi_i\rangle\\ =&\frac{1}{\omega-E_i+i\epsilon}\langle\phi_f|\phi_i\rangle+\frac{1}{\omega-E_i+i\epsilon}\frac{1}{\omega-E_f+i\epsilon}\langle\phi_f|\hat V+\hat V\frac{1}{\omega-\hat H_0+i\epsilon}\hat V+\cdots|\phi_i\rangle \end{align} \] 记 \[ \mathcal{F}(\omega)=\langle\phi_f|\hat V+\hat V\frac{1}{\omega-\hat H_0+i\epsilon}\hat V+\cdots|\phi_i\rangle \] 则 \[ \begin{align} &\langle f|\hat U(t,t')|i\rangle\\ =&i\int\frac{\mathrm d\omega}{2\pi}\mathrm e^{i(E_f-\omega)t'-i(E_i-\omega)t}\frac{1}{\omega-E_i+i\epsilon}[\langle\phi_f|\phi_i\rangle+\frac{1}{\omega-E_f+i\epsilon}\mathcal{F}(\omega)] \end{align} \] 利用公式 \[ \lim_{t\to-\infty}\frac{\mathrm e^{i\omega t}}{\omega+i\epsilon}=-2\pi i\delta(\omega) \] 代入得到 \[ \lim_{t\to-\infty}\lim_{t'\to\infty}\langle f|\hat U(t,t')|i\rangle=\delta_{fi}-2\pi i\delta(E_i-E_f)\mathcal{F}(E_i) \] 第二项意味着能量守恒。

定义$S$矩阵和$T$矩阵： \[ \lim_{t\to-\infty}\lim_{t'\to\infty}\langle f|\hat U(t,t')|i\rangle=\langle\phi_f|\hat S|\phi_i\rangle\\ \hat S=\mathbf 1-i\hat T \] 将自由系统的本征态简记为 \[ |\phi_i\rangle=|i\rangle\\ |\phi_f\rangle=|f\rangle \] 则有 \[ \langle f|\hat T|i\rangle=2\pi\delta(E_i-E_f)\mathcal F(E_i) \] 表明$\mathcal F(E_i)$是$T$矩阵的矩阵元。

定义 \[ |i^+\rangle=\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{E_i-\hat H_0+i\epsilon}\hat V)^n|i\rangle=|i\rangle+\frac{1}{E_i-\hat H_0+i\epsilon}\hat V|i^+\rangle \] 则 \[ \begin{align} \langle \mathbf r|i^+\rangle=\langle \mathbf r|i\rangle+\int\mathrm d^3\mathbf r'\langle\mathbf r|\frac{1}{E_i-\hat H_0+i\epsilon}|\mathbf r'\rangle V(\mathbf r')\langle\mathbf r'|i^+\rangle \end{align} \] 其中的矩阵元可以用留数定理算出 \[ \langle\mathbf r|\frac{1}{E_i-\hat H_0+i\epsilon}|\mathbf r'\rangle=-\frac{m}{2\pi R}\mathrm e^{ip_iR},\ \ R=|\mathbf r-\mathbf r'|\approx r-\mathbf r'\cdot\frac{\mathbf r}{r} \] 所以有 \[ \langle\mathbf r|i^+\rangle=\langle\mathbf r|i\rangle+\frac{\mathrm e^{iP_ir}}{r}(-\frac{m}{2\pi}\langle p_i\hat{\mathbf r}|\hat V|i^+\rangle) \] 即一个朝前的平面波叠加上一个带调幅因子的球面波，调幅因子是$T$矩阵的矩阵元。

散射截面

定义微分散射截面 \[ \frac{\mathrm d\sigma}{\mathrm d\Omega}=(\frac{m}{2\pi})|T_{ni}|^2=|f_p(\theta)|^2 \] 其中$T_{ni}$是跃迁矩阵元。

全同粒子

波函数满足交换对称性（反对称性），同时$m_1=m_2=m$的两体散射过程。

对自旋为零的Boson体系： \[ \Psi(\mathbf r_1,\mathbf r_2)=\psi(\mathbf r_1,\mathbf r_2)+\psi(\mathbf r_2,\mathbf r_1) \] 其中$\psi$是散射波函数，满足： \[ \psi(\mathbf r_1,\mathbf r_2)=\mathrm e^{i\mathbf P\cdot \mathbf R}[\mathrm e^{i\mathbf p\cdot\mathbf r}+\frac{\mathrm e^{ipr}}{r}f_p(\theta)]\\ \psi(\mathbf r_2,\mathbf r_1)=\mathrm e^{i\mathbf P\cdot \mathbf R}[\mathrm e^{-i\mathbf p\cdot\mathbf r}+\frac{\mathrm e^{ipr}}{r}f_p(\pi-\theta)] \] 所以 \[ \Psi(\mathbf r_1,\mathbf r_2)\sim\mathrm e^{i\mathbf p\cdot\mathbf r}+\mathrm e^{-i\mathbf p\cdot\mathbf r}+\frac{\mathrm e^{ipr}}{r}[f_p(\theta)+f_p(\pi-\theta)] \] 所以应有 \[ \frac{\mathrm d\sigma}{\mathrm d\Omega}=|f_p(\theta)+f_p(\pi-\theta)|^2 \] 如果是非全同粒子，应当是平方和的形式。

对自旋为$\frac{1}{2}$的费米子体系： \[ \Psi(\mathbf r_1,\mathbf r_2)\sim\psi(\mathbf r_1,\mathbf r_2)|\lambda\rangle|\rho\rangle-\psi(\mathbf r_2,\mathbf r_1)|\rho\rangle|\lambda\rangle \] 只当粒子对自旋相同时，才产生干涉作用。

所以 \[ \frac{\mathrm d\sigma}{\mathrm d\Omega}= \left\{ \begin{array}{l} |f_p(\theta)-f_p(\pi-\theta)|^2\ \ \ \ &\text{for}\ \lambda=\rho\\ |f_p(\theta)|^2+|f_p(\pi-\theta)|^2\ \ \ \ &\text{for}\ \lambda\not=\rho\\ \end{array} \right. \]